P
|
roposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau
salah (false), dan tidak dapat bernilai sekaligus keduanya. Kebenaran atau
kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). Proposisi
selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat tanya maupun
kalimat perintah. Contoh:
a.
Presiden
yang menjabat sekarang (2016) adalah, Ir. Jokowi Widodo
b.
Ibu
kota Indonesia adalah Jakarta
c.
Setelah
hari Senin adalah hari Selasa
d.
2
dikali 6 sama dengan 8
e.
Anak
perempuan itu sangat pendek
Semuanya
merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah
karena 2 x 6 = 12. Proposisi e tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya
atau kesalahannya.
Mengkombinasikan
Proposisi
Operator yang
digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator
logika dasar yang digunakan adalah dan
(and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator
biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi,
sedangkan operator ketiga dinamakan
operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi. Proposisi baru
yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk
(compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain
disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi,
disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI.
Misalkan dan adalah proposisi.
Konjungsi
(conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi p dan
Disjungsi
(disjunction) dan , dinyatakan dengan
notasi , adalah proposisi p atau
Ingkaran atau
(negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p
Catatan:
Kata “tidak”
dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal
pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak
benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa
bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.
Berikut
contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi
majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.
p : Jokowi
adalah Presiden Indonesia
q : Basuki
adalah Gubernur DKI Jakarta
Maka
pq : Jokowi
adalah Presiden Indonesia dan Basuki adalah Gubernur DKI Jakarta
pq : Jokowi
adalah Presiden Indonesia atau Basuki adalah Gubernur DKI Jakarta
p : Tidak benar
Jokowi Presiden Indonesia
T
|
abel Kebenaran.
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari
proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika. Untuk
menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk jugalah menggunakan tabel
kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari
proposisi atomik.
Misalkan p dan q
adalah proposisi.
Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q
keduanya salah, selain itu nilainya benar
Negasi p, yaitu ~p,
bernilai benar jika p salah, dan
sebaliknya
Misalkan
P : 3 adalah bilangan prima
q : bilangan
prima selalu ganjil
jelas
bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p ^ q : 3
adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
Tabel 1.1 Tabel
kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran
p
|
q
|
p
^ q
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
p
|
q
|
p
v q
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
P
|
~p
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
Ada 3 buah
proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai
2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut
adalah buah. Tabel kebenaran dari
proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel
kebenaran proposisi
(p ^ q) v (~q ^ r)p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi
majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran
masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai
kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah
proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya
disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Yang dimaksud dengan
“semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai
kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom
terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi
dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.
Hukum – Hukum
Proposisi
Proposisi,
dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan
dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan
hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu
hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga
hukum-hukum aljabar proposisi.
1.
Hukum
identitas
i.
p v F ó p
ii.
p ^ T ó p
|
2.
Hukum null
dominasi
i.
p ^ F ó F
ii.
p v T ó T
|
3.
Hukum negasi
i.
p v ~p ó T
ii.
p ^ ~p ó F
|
4.
Hukum negasi
iii.
p v ~p ó T
iv. p ^ ~p ó F
|
5.
Hukum idempotent
i.
p v p ó p
ii.
p ^ p ó p
|
6.
Hukum
penyerapan
i. p v (p ^ q) ó p
ii. p ^ (p v q) ó p
|
7.
Hukum
komutatif
i. p v q ó q v p
ii. p ^ q ó q ^ p
|
8.
Hukum
assosiatif
i.
p v (q v r) ó
(p v q) v r
ii.
p ^ (q ^ r) ó
(p ^ q) ^ r
|
9.
Hukum
distributif
i. p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii. p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
|
10. Hikum de morgan
i.
~(p ^ q) ó ~p v ~q
ii. ~(p v q) ó ~p ^ ~q
|
Hukum-hukum
logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi.
Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan
hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak
proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi
atomic, maka table kebenarannya terdiri dari
baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel
kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat
baris di dalam tabel kebenarannya.
T
|
autologi adalah
pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan
Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan
Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut
Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan
dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika. Contoh:
Jika Andi lulus,
maka Bita juga lulus. Jika Citra gagal, maka Dito lulus. Dengan demikian, jika Andi
lulus, atau Citra gagal, maka Tini lulus.
Diubah ke
variabel proposional:
A = Tono pergi kuliah
B = Tini pergi
kuliah
C = Siska tidur
Diubah lagi
menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan.
Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3
adalah kesimpulan.
(1) A ® B (Premis)
(2) C ® B (premis)
(3) (A v C) ® B (kesimpulan)
K
|
ontradiksi
adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya
mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang
salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari
komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut
kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara
kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan
sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Dua atau lebih
pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi
logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika
kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum
Ekuivalensi Logika
1. Hukum komutatif:
p ʌ q
|
q ʌ p
|
p v q
|
q v p
|
2. Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r
|
p ʌ (q ʌ r)
|
(p v q) v r
|
p v (q v r)
|
3. Hukum distributif:
p ʌ (q v r)
|
(p ʌ q) v (p ʌ r)
|
p v (q ʌ r)
|
(p
v q) ʌ (p v r)
|
4. Hukum identitas:
p ʌ T
|
p
|
p v F
|
p
|
5. Hukum ikatan (dominasi):
p ʌ T
|
p
|
p v F
|
F
|
Dengan adanya
hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi,
kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran
namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12
(dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut. Dengan menggunakan
prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat
disederhanakan,
H
|
ukum-hukum aljabar proposisi.Suatu bentuk logical
equivalence dari proposisi-proposisi yang merupakan hokum-hukum yang dapat
dipakai untuk penyederhanaan suatu bentuk proposisi.Hukum-hukum aljabar proposisi yang sering kita jumpai adalah sebagai
berikut:
1)
Idempoten
2)
Asosiatif
3)
Komutatif
4)
Distributif
5)
Identitas
6)
Komplemen
7)
Involution
8)
De Morgan’s
9)
Absorbsi
Untuk menunjukkan/membuktikan bahwa hokum-hukum 1 sampai 9 di atas benar
silahkan buat table kebenaran dan nyatakan apakah proposisi-proposisi pada
hokum-hukum tersebut logical equivalence. Proposisi t = true merupakan
suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang
selalu bernilai salah.
